Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$．
（1）證明：f（x）+f（1-x）=1；
（2）求f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{8}{10}$）+f（$\frac{9}{10}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則能證明f（x）+f（1-x）=1．
（2）由f（x）+f（1-x）=1，得到f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{8}{10}$）+f（$\frac{9}{10}$）=4×$1+f（\frac{5}{10}）$，由此能求出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$，
∴f（x）+f（1-x）
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}$+$\frac{{2}^{1-x}}{{2}^{1-x}+\sqrt{2}}$
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}+\frac{2}{2+\sqrt{2}•{2}^{x}}$
=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+{2}^{x}}$
=1．
（2）解：∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f（$\frac{1}{10}$）+f（$\frac{2}{10}$）+…+f（$\frac{8}{10}$）+f（$\frac{9}{10}$）
=4×$1+f（\frac{5}{10}）$
=4+$\frac{{2}^{\frac{1}{2}}}{{2}^{\frac{1}{2}}+\sqrt{2}}$
=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等式的證明，考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、運(yùn)算法則和函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．