Question

17．設k∈Z，下列四個命題中正確的有③④．（填所有正確命題的序號）
①若sinα+sinβ=2，則α=β=2kπ+$\frac{π}{2}$；
②若tanα+$\frac{1}{tanα}$=2，則α=2kπ+$\frac{π}{4}$；
③若sinα+cosα=1，則sin³α+cos³α=1；
④若sin³α+cos³α=1，則sinα+cosα=1．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的定義及恒等變形，逐一分析四個結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵sin α+sin β=2，
∴α=2kπ+$\frac{π}{2}$，且β=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
但α，β不一定相等，故①錯誤；、
若tanα+$\frac{1}{tanα}$=2，則α=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，故②正確；
若sinα+cosα=1，則sinαcosα=0，
故sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=1，故③正確；
若sin³α+cos³α=1，則sinαcosα=0，則由sin³α+cos³α=（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）=1得sinα+cosα=1，故④正確；
故答案為：③④

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查三角函數(shù)的定義，立方和公式等知識點，難度中檔．