Question

20．2015年，威海智慧公交建設(shè)項(xiàng)目已經(jīng)基本完成．為了解市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意度，分別從不同公交站點(diǎn)隨機(jī)抽取若干市民對(duì)該項(xiàng)目進(jìn)行評(píng)分（滿分100分），繪制如下頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個(gè)等級(jí)：

滿意度評(píng)分	低于60分	60分到79分	80分到89分	不低于90分
滿意度等級(jí)	不滿意	基本滿意	滿意	非常滿意

已知滿意度等級(jí)為基本滿意的有680人．
（I）若市民的滿意度評(píng)分相互獨(dú)立，以滿意度樣本估計(jì)全市市民滿意度．現(xiàn)從全市市民中隨機(jī)抽取4人，求至少有2人非常滿意的概率；
（Ⅱ）在等級(jí)為不滿意市民中，老年人占$\frac{1}{3}$．現(xiàn)從該等級(jí)市民中按年齡分層抽取15人了解不滿意的原因，并從中選取3人擔(dān)任整改督導(dǎo)員，記X為老年督導(dǎo)員的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）；
（III）相關(guān)部門對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行驗(yàn)收，驗(yàn)收的硬性指標(biāo)是：市民對(duì)該項(xiàng)目的滿意指數(shù)不低于0.8，否則該項(xiàng)目需進(jìn)行整改，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該項(xiàng)目能否通過驗(yàn)收，并說明理由．（注：滿意指數(shù)=$\frac{滿意程度的平均分}{100}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1，能求出a的值，從而得到市民非常滿意的概率，再由市民滿意度評(píng)分相互獨(dú)立，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出現(xiàn)從全市市民中隨機(jī)抽取4人，至少有2人非常滿意的概率．
（Ⅱ）按年齡分層抽樣抽取15人進(jìn)行座談，則老年市民抽5人，從15人中選取3名整改督導(dǎo)員的所有可能情況為${C}_{15}^{3}$，由題意知X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．
（Ⅲ）求出所選樣本滿意程序的平均得分，從而估計(jì)市民滿意程度的平均得分，進(jìn)而求出市民滿意度指數(shù)，由此判斷該項(xiàng)目能通過驗(yàn)收．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，知：
a=$\frac{1}{10}$[1-10×（0.035+0.004+0.020+0.014+0.002）]=0.025，
∴市民非常滿意的概率為0.025×10=$\frac{1}{4}$，
∵市民滿意度評(píng)分相互獨(dú)立，
∴P=1-${C}_{4}^{0}（\frac{1}{4}）^{0}（\frac{3}{4}）^{4}$-${C}_{4}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{67}{256}$．
（Ⅱ）按年齡分層抽樣抽取15人進(jìn)行座談，則老年市民抽15×$\frac{1}{3}=5$人，
從15人中選取3名整改督導(dǎo)員的所有可能情況為${C}_{15}^{3}$，
由題意知X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{10}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{24}{91}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{10}^{2}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{45}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{10}^{1}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{20}{91}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{2}{91}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{24}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{2}{91}$

E（X）=$0×\frac{24}{91}+1×\frac{45}{91}+2×\frac{20}{91}+3×\frac{2}{91}$=1．
（Ⅲ）所選樣本滿意程序的平均得分為：
45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7，
估計(jì)市民滿意程度的平均得分為80.7，
∴市民滿意度指數(shù)為$\frac{80.7}{100}$=0.807＞0.8，
∴該項(xiàng)目能通過驗(yàn)收．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，考查滿意度指數(shù)的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．