Question

8．設(shè)點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F₁PF₂的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且F₁M⊥MP，則|$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是[0，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 可設(shè)P在第一象限，延長(zhǎng)PF₂，延長(zhǎng)F₁M交于N，由PM為∠F₁PF₂的平分線(xiàn)，且F₁M⊥MP，可得△F₁PN為等腰三角形，再由中位線(xiàn)定理可得|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF₂|，運(yùn)用橢圓的定義和性質(zhì)：橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的最值，即可得到所求|$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍．

解答 解：不妨設(shè)P在第一象限，延長(zhǎng)PF₂，延長(zhǎng)F₁M交于N，
由PM為∠F₁PF₂的平分線(xiàn)，且F₁M⊥MP，
可得△F₁PN為等腰三角形，即有|PF₁|=|PN|，
由中位線(xiàn)定理可得|OM|=$\frac{1}{2}$|F₂N|=$\frac{1}{2}$（|PF₁|-|PF₂|），
由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=4，
即有|OM|=$\frac{1}{2}$（4-2|PF₂|）=2-|PF₂|，
由|PF₂|＞a-c=2-$\sqrt{3}$，可得|OM|＜$\sqrt{3}$，
由P為短軸的端點(diǎn)時(shí)，|PF₂|=a=2，|OM|=0，
則|$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是[0，$\sqrt{3}$）．
故答案為：[0，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離的最值，考查等腰三角形的性質(zhì)和中位線(xiàn)定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．