Question

5．已知正方形ABCD的面積為2，點P在邊AB上，則$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)正方形的面積為2可求出邊長，結(jié)合圖形，可得出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}=（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}）•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BP}）$，進(jìn)行數(shù)量積的運算得出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}=2-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$，可設(shè)$|\overrightarrow{AP}|=x，|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2}-x$，從而得出$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}={x}^{2}-\sqrt{2}x+2$，配方便可求出最小值．

解答 解：如圖，$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BP}$；
正方形的面積為2，則邊長為$\sqrt{2}$；
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}=（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}）•（\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BP}）$
=$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BP}$
=$2-0-0-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$
=$2-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$；
設(shè)$|\overrightarrow{AP}|=x，0≤x≤\sqrt{2}$，則$|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{2}-x$；
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}=2-x（\sqrt{2}-x）$
=${x}^{2}-\sqrt{2}x+2$
=$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{3}{2}$；
∴$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PC}$的最小值為$\frac{3}{2}$．
故選B．

點評 考查向量減法的幾何意義，向量數(shù)量積的運算及計算公式，配方法求最值．