分析 構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{1}{x}$,利用函數(shù)在(0,+∞)是凹函數(shù),由圖象結(jié)合曲邊梯形的面積表示得到證明.
解答 證明:構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{1}{x}$,因?yàn)榇撕瘮?shù)在(0,+∞)
是凹函數(shù),由圖象可知,
在區(qū)間[n,2n]上的n個(gè)矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積,
所以$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$<${∫}_{n}^{2n}$$\frac{1}{x}$dx
=lnx|${\;}_{n}^{2n}$=ln2n-lnn=ln2≈0.6931<$\frac{7}{10}$.
則對(duì)一切正整數(shù)n,都有:$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$<$\frac{7}{10}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明,注意采用定積分的幾何意義證明,通過面積關(guān)系證明,屬于難題.
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A. | 1 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | 2 | D. | 3 |
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A. | 第5項(xiàng) | B. | 第6項(xiàng) | C. | 第7項(xiàng) | D. | 第8項(xiàng) |
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A. | $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ | B. | 3 | C. | 2或3 | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$ |
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