Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為銳角，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{11}$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則向量$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為（　�。�

• A． $\frac{5\sqrt{3}}{3}$
• B． 3
• C． 2或3
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$或$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 可由條件求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}=14-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，進(jìn)而得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$的值，并可由$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$和$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|•\frac{\sqrt{3}}{3}$建立關(guān)于$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的方程，從而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，根據(jù)投影的計(jì)算公式便可求出所求投影的值．

解答 解：根據(jù)條件，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=14$-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{14-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$；
又∵$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow=3-\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{a}-\overrightarrow＞$=$\sqrt{14-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$；
∴$3-\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\sqrt{14-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}$；
解得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=5$或$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-1，
又∵向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為銳角，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=5$，
∴$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影為$|\overrightarrow|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=|\overrightarrow|•\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及要求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$而求$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}$的方法，以及一元二次方程的解法，一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上投影的計(jì)算公式．