Question

已知f（x）=log

1

a

[（a-1）x-2]．
（1）若a＞1，求f（x）的定義域；
（2）若0＜a＜1，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
（3）若f（x）＞0在[1，

5

4

]上恒成立，求a 的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用真數(shù)大于0，可得（a-1）x-2＞0，根據(jù)a＞1，得x＞

2

a-1

，從而可得f（x）的定義域；
（2）先求函數(shù)的f（x）的定義域是(-∞，

2

a-1

)，再利用單調(diào)性的定義，設(shè)x1＜x2＜

2

a-1

，則f(x1)-f(x2)=log

1

a

[

(a-1)x1-2

(a-1)x2-2

]，從而可得f（x₁）-f（x₂）＞0，所以該函數(shù)在(-∞，

2

a-1

)上是減函數(shù)；
（3）分類討論：①若a＞1，則0＜

1

a

＜1，即在[1，

5

4

]上恒有0＜（a-1）x-2＜1；②若0＜a＜1，則

1

a

＞1，即在[1，

5

4

]上恒有（a-1）x-2＞1，從而可求a 的取值范圍．

解答：（1）解：由a＞1，a-1＞0，解（a-1）x-2＞0得x＞

2

a-1

∴f（x）的定義域是(

2

a-1

，+∞)；
（2）證明：∵0＜a＜1，a-1＜0，解（a-1）x-2＞0得x＜

2

a-1

∴f（x）的定義域是(-∞，

2

a-1

)
設(shè)x1＜x2＜

2

a-1

，則f(x1)-f(x2)=log

1

a

[

(a-1)x1-2

(a-1)x2-2

]
∵a-1＜0，x1＜x2＜

2

a-1

∴（a-1）x₁-2＞（a-1）x₂-2＞0
∴

(a-1)x1-2

(a-1)x2-2

＞1
∵

1

a

＞1
∴f(x1)-f(x2)=log

1

a

[

(a-1)x1-2

(a-1)x2-2

]＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴該函數(shù)在(-∞，

2

a-1

)上是減函數(shù)；
（3）解：①若a＞1，則0＜

1

a

＜1，即在[1，

5

4

]上恒有0＜（a-1）x-2＜1
∵a-1＞0，∴（a-1）x-2為單調(diào)增函數(shù)，只要

(a-1)-2＞0 (a-1)× 5 4 -2＜1

，∴3＜a＜

17

5

②若0＜a＜1，則

1

a

＞1，即在[1，

5

4

]上恒有（a-1）x-2＞1
∵a-1＜0，∴（a-1）x-2為單調(diào)減函數(shù)，只要（a-1）×

5

4

-2＞1，∴a＞

17

5

∵0＜a＜1，∴a∈∅
綜上，a 的取值范圍為(3，

17

5

)

點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，同時(shí)考查恒成立問題，解題時(shí)應(yīng)注意底數(shù)的討論．