已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（
3
，
3
2
），橢圓C左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為E，△EF1F2為等邊三角形．定義橢圓C上的點(diǎn)M（x0，y0）的“伴隨點(diǎn)”為N（
x0
a
，
y0
b
）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求tan∠MON的最大值；
（3）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B的“伴隨點(diǎn)”分別是P、Q，且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．橢圓C的右頂點(diǎn)為D，試探究△OAB的面積與△ODE的面積的大小關(guān)系，并證明．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知
3
a2
+
3
4b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
1
2
，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)kOM=
y0
x0
=k（k＞0），于是kON=
2k
3
，由此利用均值定理能求出tan∠MON的最大值．
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則P(
x1
2
，
y1
3
)， Q(
x2
2
，
y2
3
)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m，由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0，由此求出S△OAB=
1
2
|AB|d=
3
；當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為x=m（-2＜m＜2）聯(lián)立橢圓方程得：y2=
3(4-m2)
4
，由此求出△OAB的面積是定值
3
，又△ODE的面積也為
3
，從而得到△OAB的面積與△ODE的面積相等．
解答： 本小題滿分（16分）（第1小題滿分（4分），第2小題滿分（4分），第3小題滿分8分）
解：（1）由已知
3
a2
+
3
4b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
1
2
，
解得a2=4，b2=3，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1…（4分）
（2）當(dāng)x0y0=0時(shí)，顯然tan∠MON=0，
由橢圓對稱性，只研究x0＞0，y0＞0即可，
設(shè)kOM=
y0
x0
=k（k＞0），于是kON=
2k
3
…（5分）
tan∠MON=
2k
3
-k
1+
2k2
3
=
2-
3
3
k
+2k
≤
2-
3
2
2
3
，
（當(dāng)且僅當(dāng)k2=
3
2
時(shí)取等號），
∴tan∠MON的最大值為
2-
3
2
2
3
．…（8分）
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則P(
x1
2
，
y1
3
)， Q(
x2
2
，
y2
3
)；
1）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=kx+m，
由
y=kx+m
x2
4
+
y2
3
=1
得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2-3）=0；
有
△=48(3+4k2-m2)＞0
x1+x2=
-8km
3+4k2
x1x2=
4(m2-3)
3+4k2
①…（10分）
由以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O可得：3x1x2+4y1y2=0；
整理得：(3+4k2)x1x2+4mk(x1+x2)+4m2=0②
將①式代入②式得：3+4k2=2m2，…（12分）
∵3+4k2＞0，∴m2＞0，△=48m2＞0，
又點(diǎn)O到直線y=kx+m的距離d=
|m|
1+k2

∴|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
•
4
3
3+4k2-m2
3+4k2

=
1+k2
•
4
3
|m|
3+4k2
=
1+k2
•
4
3
|m|
2m2

所以S△OAB=
1
2
|AB|d=
3
…（14分）
2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為x=m（-2＜m＜2）
聯(lián)立橢圓方程得：y2=
3(4-m2)
4
；
代入3x1x2+4y1y2=0得3m2-
3(4-m2)
4
=0；
m=±
2
5
5
，y=±
2
15
5
，S△OAB=
1
2
|AB|d=
1
2
|m||y1-y2|=
3
，
綜上：△OAB的面積是定值
3

又△ODE的面積也為
3
，
∴△OAB的面積與△ODE的面積相等．…（16分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查正切的最大值的求法，考查兩個(gè)三角形面積的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

正六棱錐P-ABCDEF中，G為PB的中點(diǎn)，則三棱錐D-GAC與三棱錐E-GAC的體積比
VD-GAC
VE-GAC
為（　�。�
A、
1
2
B、1
C、
2
3
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-x
（1）求f（x）在點(diǎn)（0，1）處的切線方程；
（2）若F（x）=f（x）-ax2-1的導(dǎo)函數(shù)F′（x）在（0，2）上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對m≥0，n≥0，試比較f（m）+f（n）與mn+2的大小，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C⊥底面ABC，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC1∥平面CDB1；
（Ⅱ）求四面體B1C1CD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=k（x-1）ex+x2．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)k=-
1
e
，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若在y軸的左側(cè)，函數(shù)g（x）=x2+（k+2）x的圖象恒在f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）圖象的上方，求k的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)k≤-l時(shí)，求函數(shù)f（x）在[k，1]上的最小值m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上的任意兩點(diǎn)．M為AB的中點(diǎn)，M的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（1）求M的縱坐標(biāo)．
（2）設(shè)Sn=f(
1
n+1
)+f(
2
n+1
)+…+f(
n
n+1
)，其中n∈N*，求Sn．
（3）對于（2）中的Sn，已知an=(
1
Sn+1
)2，其中n∈N*，設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求證
4
9
≤Tn＜
5
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某高校調(diào)查詢問了56名男女大學(xué)生在課余時(shí)間是否參加運(yùn)動(dòng)，得到如表所示的數(shù)據(jù)．從表中數(shù)據(jù)分析，有多大把握認(rèn)為大學(xué)生的性別與參加運(yùn)動(dòng)之間有關(guān)系．
參加運(yùn)動(dòng)不參加運(yùn)動(dòng)合計(jì)
男大學(xué)生20828
女大學(xué)生121628
合計(jì)322456

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=cos（2x-
π
3
）+sin2x-cos2x
（1）求f（x）的對稱軸及對稱中心；
（2）若f（α）=
3
5
，2α是第二象限角，求sin2α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x+2(x≤-1)
x2(-1＜x＜2)
2x(x≥2)

（1）求f（-4）、f（3）、f（1）的值；
（2）若f（a）=
1
2
，求a的值．

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同步練習(xí)冊答案