Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x
（1）求f（x）在點（0，1）處的切線方程；
（2）若F（x）=f（x）-ax²-1的導(dǎo)函數(shù)F′（x）在（0，2）上單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對m≥0，n≥0，試比較f（m）+f（n）與mn+2的大小，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由f′（x）=e^x-1，得f′（0）=0，又f（0）=1，故切線方程為：y-1=f′（0）（x-0），即y-1=0．
（2）當(dāng)F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是增函數(shù)時，有F″（x）=e^x-2a≥0在[0，2]上恒成立，即a≤

ex

2

在[0，2]上恒成立，得a≤

1

2

．當(dāng)F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是減函數(shù)時，得a≥

ex

2

．綜上，a∈[

e2

2

，+∞）∪（-∞，

1

2

]．
（3）結(jié)論：f（m）+f（n）≥mn+2．當(dāng)a=

1

2

時，由（2）可得F″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，F(xiàn)（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，得到：f（x）≥

1

2

x²+1．從而f（m）+f（n）≥

m2+n2

2

+2≥mn+2．

解答： 解：（1）由f′（x）=e^x-1，得f′（0）=0，又f（0）=1，
故切線方程為：y-1=f′（0）（x-0），即y-1=0．
（2）當(dāng)F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是增函數(shù)時，
有F″（x）=e^x-2a≥0在[0，2]上恒成立，即a≤

ex

2

在[0，2]上恒成立，
∴a≤

1

2

．
當(dāng)F′（x）=e^x-2ax-1在[0，2]上是減函數(shù)時，
有F″（x）=e^x-2a≤0在[0，2]上恒成立，即a≥

ex

2

在[0，2]上恒成立，
∴a≥

ex

2

．
綜上，a∈[

e2

2

，+∞）∪（-∞，

1

2

]．
（3）結(jié)論：f（m）+f（n）≥mn+2．
當(dāng)a=

1

2

時，由（2）可得F″（x）=e^x-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴F′（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，又F（0）=0，
∴F（x）≥0，得到：f（x）≥

1

2

x²+1．
又m≥0，n≥0，故f（m）≥

1

2

m²+1，f（n）≥

1

2

n²+1，
∴f（m）+f（n）≥

m2+n2

2

+2≥mn+2，（當(dāng)且僅當(dāng)m=n=0時等號成立）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，切線的方程，參數(shù)的范圍，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．