Question

下圖是一個直三棱柱(以A₁B₁C₁為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為ABC.已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°,AA₁=4,BB₁=2,CC₁=3.

(1)設(shè)點O是AB的中點,證明OC∥平面A₁B₁C₁;

(2)求AB與平面AA₁C₁C所成的角的大小;

(3)求此幾何體的體積.

Answer 1

解法一:(1)證明:作OD∥AA₁交A₁B₁于D,連結(jié)C₁D.

則OD∥BB₁∥CC₁.

因為O是AB的中點,

所以OD=(AA₁+BB₁)=3=CC₁.

則ODC₁C是平行四邊形,因此有OC∥C₁D,

C₁D平面C₁B₁A₁且OC平面C₁B₁A₁,則OC∥面A₁B₁C₁.

(2)解:如圖,過B作截面BA₂C₂∥面A₁B₁C₁,分別交AA₁、CC₁于A₂、C₂,

作BH⊥A₂C₂于H.

因為平面A₂BC₂⊥平面AA₁C₁C,則BH⊥面AA₁C₁C.

連結(jié)AH,則∠BAH就是AB與面AA₁C₁C所成的角.

因為BH=,AB=,

所以sin∠BAH=,

AB與面AA₁C₁C所成的角為∠BAH=arcsin.

(3)解：因為BH=,

所以V_B—AA2C2C=S_AA2C2C·BH=·(1+2)··=,

V_{A1B1C1—A2BC2}=S_△A1B1C1·BB₁=·2=1.

所求幾何體的體積為V=V_B—AA2C2C+V_{A1B1C1—A2BC2}=.

解法二:

(1)證明：如圖,以B₁為原點建立空間直角坐標系,

則A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3),因為O是AB的中點,

所以O(0,,3),=(1,-,0).

易知n=(0,0,1)是平面A₁B₁C₁的一個法向量.

因為·n=0,OC平面A₁B₁C₁,

所以OC∥平面A₁B₁C₁.

(2)解：設(shè)AB與面AA₁C₁C所成的角為θ,

求得=(0,0,4),=(1,-1,0).

設(shè)m=(x,y,z)是平面AA₁C₁C的一個法向量,則

由

得

取x=y=1,得m=(1,1,0).

又因為=(0,-1,-2),

所以cos〈m,〉=

則sinθ=.

所以AB與面AA₁C₁C所成的角為arcsin.

(3)同解法一.綠色通道:

本題主要考查直線與平面平行的判定及直線與平面所成角及幾何體體積的求法，解法一為傳統(tǒng)解法，解法二為向量解法.兩種方法各有千秋，充分體現(xiàn)了思維的靈活性.

在解決此類問題時，要注意計算方法的靈活性，特別是向量解法，應(yīng)注意各點的坐標.