Question

下圖是一個直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC。已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，
（1）設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求二面角B-AC-A₁的大小；
（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

（1）證明：作交于D，連， 則， 因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)， 所以， 則是平行四邊形，因此有， 平面， 則OC∥面． （2）解：如圖，過B作截面， 分別交， 作于H，連結(jié)CH， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111118/201111181155238901047.gif">， 所以， 則BH⊥平面， 又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111118/201111181155239841375.gif">， 所以BC⊥AC，根據(jù)三垂線定理知CH⊥AC， 所以∠BCH就是所求二面角的平面角， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111118/201111181155239841008.gif">， 所以，故∠BCH=30°， 即所求二面角的大小為30°。 （3）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111118/201111181155240151008.gif">， 所以， ， 所求幾何體體積為。