Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線D的極坐標(biāo)方程為.

（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程以及曲線D的直角坐標(biāo)方程；

（2）若過點(diǎn)（極坐標(biāo)）且傾斜角為的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為P，求的值．

Answer 1

【答案】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為；曲線D的直角坐標(biāo)方程為；（2）.

【解析】

（1）由曲線C的參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求得曲線C的普通方程，結(jié)合極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化公式，即可求得曲線C的極坐標(biāo)方程和曲線D的直角坐標(biāo)方程；

（2）根據(jù)題意，求得直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入曲線C的方程，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，即可求解.

（1）由題意，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），即為參數(shù)）

平方相加，可得曲線C的普通方程為，

將代入曲線C的普通方程

可得曲線C的極坐標(biāo)方程為，

又由曲線D的極坐標(biāo)方程為，

所以，

又由

所以，

所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，

曲線D的直角坐標(biāo)方程為.

（2）由點(diǎn)，則，即點(diǎn)A（2，2）．

因為直線l過點(diǎn)A（2，2）且傾斜角為，

所以直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），代入，

可得，

設(shè)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為，

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，

所以.