【題目】已知橢圓: 的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且過點(diǎn).過點(diǎn)的直線交橢圓, 兩點(diǎn), 為橢圓的左頂點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)求面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.

【答案】(1);(2)直線l的方程為x=1.

【解析】試題分析:(1)利用橢圓和拋物線有一個(gè)公共焦點(diǎn)和點(diǎn)在橢圓上進(jìn)行求解;(2) 聯(lián)立直線和橢圓的方程,得到關(guān)于的一元二次方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式和基本不等式進(jìn)行求解.

試題解析:(1)因?yàn)閽佄锞y2=4x的焦點(diǎn)為(,0),所以橢圓C的半焦距c,即a2b2=3. ①

把點(diǎn)Q代入=1,得=1. ②

由①②解得a2=4,b2=1.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.

(2)設(shè)直線l的方程為x=ty+1,代入+y2=1,

得(t2+4)y2+2ty-3=0.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則有y1+y2=-,y1y2=-.

則|y1-y2|=.令m(m).易知函數(shù)y=m在[,+∞)上單調(diào)遞增,

,當(dāng)且僅當(dāng)m,即t=0時(shí),取等號.

所以|y1-y2|≤.所以△AMN的面積S=|AP||y1-y2|≤×3×,

所以Smax,此時(shí)直線l的方程為x=1.

練習(xí)冊系列答案
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求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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(Ⅰ)求證: 平面

(Ⅱ)四棱錐的體積是否為定值,若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.

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(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),探究: 是否為定值,若是,求出該定值,若不是,請說明理由.(其中, , 分別是直線的斜率)

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(參考數(shù)據(jù):

A. 12 B. 24 C. 48 D. 96

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