Question

【題目】在直三棱柱中，為正三角形，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn).

(1)證明：平面；

(2)若，求直線與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：（1）連接，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，易證，從而得證；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，，利用公式即可得到直線與平面所成的角的正弦值.

試題解析：

(1)證明：如圖，連接，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>為矩形，所以為線段的中點(diǎn)，

因?yàn)辄c(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

又平面，平面，

所以平面；

(2)由(1)知，，因?yàn)?/span>平面，所以平面，

因?yàn)?/span>為正三角形，且點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，

所以，

故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，

則，，，，，

所以，，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，解得.

所以，，

設(shè)平面的法向量為，

則，所以，

取，則，

又因?yàn)?/span>，設(shè)直線與平面所成的角為，

所以，

所以直線與平面所成的角的正弦值為.