Question

己知函數(shù)f(x)=

x3-2x2

ex

（Ⅰ）求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x），利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值之間的關(guān)系，即可求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，轉(zhuǎn)化求求函數(shù)的最值，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f'（x）=

-x(x2-5x+4)

ex

=

-x(x-1)(x-4)

ex

，
f'（x）的符號(hào)變化情況如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+		-		+		-
f（x）	遞增	極大	遞減	極小	遞增	極大	遞減

∴f（x）的極大值為f（0）=0和f（4）=

32

e4

，
極小值為f（1）=-

1

e

．
（Ⅱ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，af(x)+f′(x)＜

4x2

ex

恒成立，
等價(jià)為a（x-2）＜（x-1）（x-4）+4，
令x-2=t，則x=t+2，（t＞-2），
代入上述不等式得at＜a²-t+2，
①當(dāng)x＞2時(shí)，x-2＞0，即t＞0，此時(shí)不等式等價(jià)為a＜t+

2

t

-1，
∵t+

2

t

-1≥2

t• 2 t

-1=2

2

-1，當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

t

，即t=

2

，x=2+

2

時(shí)取等號(hào)．
∴a＜2

2

-1．
②當(dāng)x=2，即t=0，此時(shí)不等式at＜a²-t+2恒成立．
③當(dāng)0＜x＜2，即-2＜t＜0，不等式at＜a²-t+2等價(jià)為a＞t+

2

t

-1，
∵t+

2

t

-1=-[（-t）+（-

2

t

）]-1≤-2

(-t)•(- 2 t )

-1=-1-2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)-t=-

2

t

，即t=-

2

，即x=2-

2

時(shí)，等號(hào)成立．
∴a＞-1-2

2

．
綜上a的取值范圍是-1-2

2

＜a＜2

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．