Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，過(guò)其右焦點(diǎn)F₂作與x軸垂直的直線l與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線y²=4x交于C、D兩點(diǎn)，且

AB

=

3 2

4

CD

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)A（-4，0），過(guò)點(diǎn)R（3，0）作與x軸不重合的直線l′交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，連接AP、AQ分別交直線x=

16

3

于M、N兩點(diǎn)．試問(wèn)直線MR、NR的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

c a = 1 2 2 b2 a =3 2 • c a2=b2+c2

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）設(shè)直線l'的方程為x=my+3，聯(lián)立

x2

16

+

y2

12

=1，得（3m²+4）y²+18my-21=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由此利用三點(diǎn)共線、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出直線MR，NR的斜率之積為定值．

解答： （13分）解：（1）直線l過(guò)右焦點(diǎn)F₂且與x軸垂直，
∴|AB|=

2b2

a

，|CD|=4

c

．
又∵橢圓E的離心率為

1

2

，且

AB

=

3 2

4

CD

，
∴

c a = 1 2 2 b2 a =3 2 • c a2=b2+c2

，
解得a²=16，b²=12，故橢圓E的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．…（5分）
（2）由題意知直線l'的斜率不為零，設(shè)直線l'的方程為x=my+3，
聯(lián)立

x2

16

+

y2

12

=1，消去x得（3m²+4）y²+18my-21=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y1+y2=-

18m

3m2+4

，y1y2=-

21

3m2+4

…（7分）
∵A，P，M三點(diǎn)共線，∴

yM

16 3 +4

=

y1

x1+4

，即yM=

28

3

•

y1

x1+4

…（8分）
同理可得，yN=

28

3

•

y2

x2+4

kMR•kNR=

yM

16 3 -3

•

yN

16 3 -3

=

9yMyN

49

=

16y1y2

(x1+4)(x2+4)

…（10分）
而(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49…（11分）
∴kMR•kMN=

16× -21 3m2+4

m2× -21 3m2+4 +7m× -18m 3m2+4 +49

=

16×(-21)

4×49

=-

12

7

故直線MR，NR的斜率之積為定值-

12

7

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線的斜率之積為定值的證明，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．