Question

7．觀察下列算式：1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$.3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$，…，
（1）猜想并寫出第n個(gè)等式；
（2）證明你寫出的等式的正確性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中的式子，分析各項(xiàng)隨n的變化規(guī)律，可猜想出第n個(gè)等式；
（2）將等式兩邊化簡，可判斷等式的正確性．

解答 解：（1）∵1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$，
2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$．
3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$，
…，
歸納可得第n個(gè)等式為：n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$；
證明：（2）左邊=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，
右邊=$\frac{{n}^{2}+n}{n+1}$-$\frac{n}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$=左邊，
故原式成立．

點(diǎn)評 歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．