Question

6．已知命題p：對任意的x∈R，有2^x＜3^x；命題q：存在x∈R，使x³=1-x²，則下列命題中為真命題的是（　�。�

• A． 非p且q
• B． p且q
• C． p且非q
• D． 非p且非q

Answer 1

分析 不等式2^x＜3^x等價于$（\frac{2}{3}）^{x}＜1$，顯然該不等式不能恒成立，從而知道命題p為假命題，可令f（x）=x³+x²-1，容易判斷該函數(shù)存在零點，從而得出存在x∈R，x³=1-x²成立，這便可判斷命題q為真命題，這樣便可根據(jù)p且q，非p，非q的真假和p，q真假的關(guān)系找出正確選項．

解答 解：由2^x＜3^x得：$（\frac{2}{3}）^{x}＜1$；
當(dāng)x≤0時，$（\frac{2}{3}）^{x}≥1$，即$（\frac{2}{3}）^{x}＜1$不恒成立；
∴命題p為假命題；
令f（x）=x³+x²-1，則f（0）=-1，f（1）=1；
∴f（x）在（0，1）之間有零點；
即存在實數(shù)x∈R，使f（x）=0，即使x³=1-x²；
∴命題q為真命題；
∴非p為真命題，非p且q為真命題；
p且q為假命題；
非q為假命題，p且非q為假命題；
非p且非q為假命題；
∴A正確．
故選A．

點評 考查不等式的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的值域，熟悉指數(shù)函數(shù)的圖象，真假命題的概念，以及函數(shù)零點和對應(yīng)方程解的關(guān)系，判斷函數(shù)是否存在零點的方法，p且q，非p的真假和p，q真假的關(guān)系．