Question

16．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為一組基底，$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OC}$=n$\overrightarrow{{e}_{1}}$，如果A、B、C三點共線，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三點共線的條件，建立方程$\overrightarrow{AB}$=t$\overrightarrow{AB}$，利用向量共線的基本定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{OC}$=n$\overrightarrow{{e}_{1}}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$-（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（m+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=n$\overrightarrow{{e}_{1}}$-（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=（2+n）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若A、B、C三點共線，
則存在一個常數(shù)t，
有$\overrightarrow{AB}$=t$\overrightarrow{AC}$，
即2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（m+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$=t（（2+n）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{2=（2+n）t}\\{m+2=2t}\end{array}\right.$，消去參數(shù)t得4t=（n+2）（m+2）t，
即4=（n+2）（m+2），
則mn+2（m+n）=0，
則mn=-2（m+n），
即1=-2（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$），
則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查三點共線的應(yīng)用，結(jié)合向量共線的基本定理建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．