Question

11．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知2sinAsinB=2sin²A+2sin²B+cos2C-1
（1）求∠C的大��；
（2）若a-2b=1，且△ABC的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，求邊a的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡已知得ab=a²+b²-C²，由余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合B的范圍即可求B．
（Ⅱ）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．可解得ac=10．又a-2c=1，即可得解．

解答 （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）因為2sinAsinB=2sin²A+2sin²B+cos2C-1
由正弦定理可得：sinA=$\frac{a}{2R}$，sinB=$\frac{2R}$，sinC=$\frac{c}{2R}$，
代入上式，從而可得：2ab=2a²+2b²-2C²，既有：ab=a²+b²-C²，
所以，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
由B為三角形內(nèi)角，從而求得：B=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）因為△ABC的面積為$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．…（9分）
所以ab=10．…（11分）
又因為a-2b=1，
所以a=5．…（15分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應用，屬于基本知識的考查．