Question

6．已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₁=1，且a₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：b_n=$\frac{a_n}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+1）}}$，設(shè)其前n項和為S_n，證明：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，通過a₁=1，a₂、a₃+1、a₄成等差數(shù)列，可得q=2，進而即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過對b_n分離分母，利用并項法相加即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁=1，∴a₂=q，a₃=q²，a₄=q³，
又∵a₂，a₃+1，a₄成等差數(shù)列，
∴2（1+q²）=q+q³，
解得q=2，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）證明：∵b_n=$\frac{a_n}{{（{a_n}+1）（{a_{n+1}}+1）}}$
=$\frac{{2}^{n-1}}{（1+{2}^{n-1}）（1+{2}^{n}）}$
=$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{1}{1+1}$-$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2}$-$\frac{1}{1+{2}^{2}}$+$\frac{1}{1+{2}^{2}}$-$\frac{1}{1+{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{1+{2}^{n-1}}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$
=$\frac{1}{1+1}$-$\frac{1}{1+{2}^{n}}$
＜$\frac{1}{2}$，
即S_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用裂項相消法是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．