Question

（2013•薊縣一模）已知直線(xiàn)l分別過(guò)函數(shù)y=a^x，（a＞0且a≠1）于函數(shù)y=log_bx，（b＞0且b≠1）的定點(diǎn)，第一象限的點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)l上，則-

2

x

-

1

2y

的最大值為

-

9

2

．

Answer 1

分析：先由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn)得到兩定點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線(xiàn)方程的截距式得到x與y滿(mǎn)足的關(guān)系式，最后依據(jù)基本不等式即可求出式子的最大值．

解答：解：由于函數(shù)y=a^x，（a＞0且a≠1）與函數(shù)y=log_bx，（b＞0且b≠1）的定點(diǎn)分別為（0，1），（1，0）
故由截距式得到直線(xiàn)l的方程為x+y=1，
又由第一象限的點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)l上，則x+y=1，（x＞0，y＞0）
則-

2

x

-

1

2y

=-

2(x+y)

x

-

x+y

2y

=-

5

2

-(

2y

x

+

x

2y

)≤-

5

2

-2

2y x × x 2y

=-

9

2

（當(dāng)且僅當(dāng)

2y

x

=

x

2y

即x=

2

3

，y=

1

3

時(shí)，取“=”）
故答案為-

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式求最值問(wèn)題，同時(shí)考查了基本初等函數(shù)的特殊點(diǎn)及直線(xiàn)的截距式方程，屬于基礎(chǔ)題．