Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-2x²+3x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）證明：存在m∈（1，+∞），使得f（m）=f（

1

2

）；
（Ⅲ）記函數(shù)y=f（x）的圖象為曲線Γ．設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲線Γ上的不同兩點．如果在曲線Γ上存在點M（x₀，y₀），使得：①x₀=

x1+x2

2

（a∈R）；②曲線Γ在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)f（x）存在“中值伴隨切線”，試問：函數(shù)f（x）是否存在“中值伴隨切線”，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)極值，
（Ⅱ）只需證明m＞1時，也有某個m使得f（m）=f（

1

2

），令G（x）=f（x）-f（

1

2

），x→+∞時，G（x）→-∞，必然存在m∈（1，+∞）使G（m）=0，問題解決，
（Ⅲ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再利用中值伴隨切線的意義結合導數(shù)工具，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

1

x

-4x+3，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
∴f（x）_極大值=f（1）=1．
（Ⅱ）只需證明m＞1時，也有某個m使得f（m）=f（

1

2

），
令G（x）=f（x）-f（

1

2

），而f（

1

2

）=1-ln2＜1，
∴G（1）=f（1）-f（

1

2

）=ln2＞0，
又x→+∞時，G（x）→-∞，
∴必然存在m∈（1，+∞）使G（m）=0，
即f（m）=f（

1

2

）．
（Ⅲ）不存在，理由如下：
∵f′（x）=

1

x

-4x+3，
假設f（x）存在“中值伴隨切線”，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），是曲線y=F（x）上的不同兩點，且0＜x₁＜x₂，
則K_AB=

lnx2-lnx1

x2-x1

-2（x₁+x₂）+3，
曲線f（x）在M（x₀，y₀）處的斜率為：
K=f′（x₀）=

2

x1+x2

-2（x₁+x₂）+3，
∴

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
令

x2

x1

=t，t＞1，
上式可化為；lnt+

4

lnt

=2，
令h（t）=lnt+

4

t+1

，則h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因為t＞1，顯然h′（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）上遞增，顯然有h（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）內(nèi)不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
綜上所述，假設不成立．
所以函數(shù)f（x）不存在“中值伴隨切線”．

點評：本題考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學思想，考查導數(shù)知識的運用，考查存在性問題，綜合性強．