Question

己知曲線曲線C₂的參數(shù)方程是

x=m+tcosα y=tsinα

，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy的長(zhǎng)度單位相同）．若曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，射線θ=φ，θ=φ+

π

4

，θ=φ-

π

4

與曲線C₁交于極點(diǎn)O外的三點(diǎn)A，B，C．
（Ⅰ）求證：|OB|+|OC|=

2

|OA|
（Ⅱ）當(dāng)φ=

π

12

時(shí)，B，C兩點(diǎn)在曲線C₂上，求m與α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）依題意可得，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos(φ+

π

4

)，|OC|=4cos(φ-

π

4

)，利用兩角和差的余弦公式化簡(jiǎn)|OB|+|OC|，即可證得等式成立．
（Ⅱ）當(dāng)φ=

π

12

時(shí)，求得B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，再化為化為直角坐標(biāo)，根據(jù)C₂是經(jīng)過點(diǎn)（m，0），傾斜角為α的直線，而經(jīng)過點(diǎn)B，C的直線方程為y=-

3

(x-2)，從而求得m和α

解答： 解：（Ⅰ）依題意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos(φ+

π

4

)，|OC|=4cos(φ-

π

4

)，
則||OB|+|OC|=4cos(φ+

π

4

)+4cos(φ-

π

4

)=4

2

cosφ=

2

|OA|．
（Ⅱ）當(dāng)φ=

π

12

時(shí)，B，C兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為(2，

π

3

)，(2

3

，-

π

6

)，化為直角坐標(biāo)為B(1，

3

)，C(3，-

3

)．
C₂是經(jīng)過點(diǎn)（m，0），傾斜角為α的直線，又經(jīng)過點(diǎn)B，C的直線方程為y=-

3

(x-2)，
所以m=2，α=

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法，兩角和差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．