Question

12．等差數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a₁+a₂+…+a₁₀=120，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁=3，a₁+a₂+…+a₁₀=120，可得10×3+$\frac{10×9}{2}d$=120，解得d．可得a_n．數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-1（n∈N*）．n=1時，b₁=S₁=2b₁-1，解得b₁．n≥2時，S_n-1=2b_n-1-1，可得b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）a_nb_n=（2n+1）•2^n-1．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=3，a₁+a₂+…+a₁₀=120，
∴10×3+$\frac{10×9}{2}d$=120，解得d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∵數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且S_n=2b_n-1（n∈N*）．
∴n=1時，b₁=S₁=2b₁-1，解得b₁=1．
n≥2時，S_n-1=2b_n-1-1，可得b_n=2b_n-2b_n-1，即b_n=2b_n-1．
∴數(shù)列{b_n-1}是等比數(shù)列，首項為1，公比為2．
∴b_n=2^n-1．
（2）a_nb_n=（2n+1）•2^n-1．
數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n=3+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1．
2T_n=3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，
∴-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ=1+$2×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關系、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．