Question

如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連接CE，根據(jù)已知中底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4，易得四邊形AECD為正方形，可證得BC⊥AC，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證得PA⊥BC，由線(xiàn)面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，進(jìn)而答案．
（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面PAC的一個(gè)法向量和PB的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=2

2

，
取AB中點(diǎn)E，連接CE，
則四邊形AECD為正方形，
∴AE=CE=2，
又BE=

1

2

AB=2，
則△ABC為等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，
又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
由AC∩PA=A得BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
所以BC⊥PC．
解：（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的坐標(biāo)系．則P（0，0，2），B（0，4，0），C（2，2，0），

BP

=(0，-4，2)，

BC

=(2，-2，0)
由（Ⅰ）知

BC

即為平面PAC的一個(gè)法向量，
∴cos＜

BC

，

BP

＞=

BC • BP

|BC || BP |

=

10

5

，
即PB與平面PAC所成角的正弦值為

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面所成的角，直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的判定定理，解答（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線(xiàn)面垂直與線(xiàn)線(xiàn)垂直的轉(zhuǎn)換，解答（II）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將空間線(xiàn)面夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題．