Question

如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PB與平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中點E，連接CE，根據(jù)題意可得：AE=CE=2，得到△ABC為等腰直角三角形，所以AC⊥BC，又PA⊥BC，再結(jié)合線面垂直的判定定理可得線面垂直，進而得到線線垂直．
（Ⅱ）以A為坐標原點，AD，AB，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系，求出直線所在的向量與平面的法向量，再求出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為線面角．

解答：解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=2

2

，
取AB中點E，連接CE，
則四邊形AECD為正方形，…（2分）
∴AE=CE=2，
又BE=

1

2

AB=2，
所以△ABC為等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，…（4分）
又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，由AC∩PA=A，
所以BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
所以BC⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）以A為坐標原點，AD，AB，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的坐標系．
則P（0，0，2），B（0，4，0），C（2，2，0），
所以

BP

=(0，-4，2)，

BC

=(2，-2，0)．…（9分）
由（Ⅰ）知

BC

即為平面PAC的一個法向量，cos＜

BC

，

BP

＞=

BC • BP

|BC || BP |

=

10

5

，…（11分）
即PB與平面PAC所成角的正弦值為

10

5

．…（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進而得到空間中點、線、面的位置關系，結(jié)合有關定理進行證明即可，并且也有利于建立空間之間坐標系，利用向量的有關知識解決空間角與空間距離等問題．