Question

如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（Ⅰ）求證：BC⊥PC；
（Ⅱ）若F為PB的中點(diǎn)，求證：CF∥平面PAD．

Answer 1

分析：（I）由底面ABCD為直角梯形，取AB中點(diǎn)E，連接CE，可證得△ABC為等腰直角三角形，即AC⊥BC，又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，可得PA⊥BC，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAC，進(jìn)而再由線面垂直的性質(zhì)得到BC⊥PC；
（Ⅱ）取PA的中點(diǎn)G，連接FG、DG，可證得四邊形DCFG為平行四邊形，DG∥CF，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到答案．

解答：證明：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=2

2

，
取AB中點(diǎn)E，連接CE，
則四邊形AECD為正方形，…（2分）
∴AE=CE=2，又BE=

1

2

AB=2，
則△ABC為等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，…（4分）
又∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
由AC∩PA=A得BC⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，
所以BC⊥PC．…（6分）
（II）取PA的中點(diǎn)G，連接FG、DG，
則GF

∥ .

.

1

2

AB

∥ .

.

DC，
∴GF

∥ .

.

DC．…（8分）
∴四邊形DCFG為平行四邊形，
∴DG∥CF．…（10分）
又DG?平面PAD，CF?平面PAD，
∴CF∥平面PAD．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線面垂直及線線垂直的轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是證得DG∥CF．