分析 (1))要使小路的長(zhǎng)度最短,只需AB最短即可.當(dāng)OD⊥AB時(shí),圓心距最長(zhǎng)為OD,此時(shí)AB最短,利用圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.
(2)依題意,圓形廣場(chǎng)內(nèi)切于△ABO時(shí),這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積.
設(shè)△ABO的內(nèi)切圓半徑為r,則有$\frac{1}{2}(OB+OA+AB)×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$,
由弦長(zhǎng)公式得AB=2$\sqrt{4-e0s0ya0^{2}}$,⇒$qwakmew^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}(16-A{B}^{2})}{4(AB+4)^{2}}=\frac{A{B}^{2}(4-AB)}{4(4+AB)}$.
令A(yù)B=x,則r2=f(x)=$\frac{{x}^{2}(4-x)}{4(4+x)}$,$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)^{2}}$;利用導(dǎo)數(shù)求解.
解答 解:(1)小路的長(zhǎng)度l=OA+OB+AB=(400+AB)米,
要使小路的長(zhǎng)度最短,只需AB最短即可.
當(dāng)OD⊥AB時(shí),圓心距d最長(zhǎng)為OD,此時(shí)AB最短,
(AB)min=2$\sqrt{{R}^{2}-O{D}^{2}}=100\sqrt{2}$×2=200$\sqrt{2}$米,
∴小路的最短長(zhǎng)度為(4+2$\sqrt{2}$)(百米).
(2)依題意,圓形廣場(chǎng)內(nèi)切于△ABO時(shí),這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積.
設(shè)△ABO的內(nèi)切圓半徑為r,
則有$\frac{1}{2}(OB+OA+AB)×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$,
由弦長(zhǎng)公式得AB=2$\sqrt{4-eueogwq^{2}}$,⇒$ssuooyy^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}(16-A{B}^{2})}{4(AB+4)^{2}}=\frac{A{B}^{2}(4-AB)}{4(4+AB)}$.
令A(yù)B=x,則r2=f(x)=$\frac{{x}^{2}(4-x)}{4(4+x)}$,$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)^{2}}$;
∵$0<d≤\sqrt{2}$,∴x=AB=2$\sqrt{4-u2o0qik^{2}}$$∈[2\sqrt{2},4]$.
∴$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)}<0$,∴$f(x)_{max}=f(2\sqrt{2})$=6-4$\sqrt{2}$.
這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積s=πr2=(6-4$\sqrt{2}$)π(百米2)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì),解三角形、弦長(zhǎng)公式,函數(shù)的最值,屬于中檔題.
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A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{7}{8}$ |
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A. | E(η)=5,D(ξ)=3 | B. | E(η)=3,D(ξ)=27 | C. | E(η)=9,D(ξ)=81 | D. | E(η)=5,D(ξ)=1 |
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A. | 必要不充分條件 | B. | 充分不必要條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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A. | 5 | B. | 4 | C. | 3 | D. | 2 |
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A. | 30° | B. | 45° | C. | 60° | D. | 120° |
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