12.有一塊以點(diǎn)O為圓心,半徑為2百米的圓形草坪,草坪內(nèi)距離O點(diǎn)$\sqrt{2}$百米的D點(diǎn)有一用于灌溉的水籠頭,現(xiàn)準(zhǔn)備過(guò)點(diǎn)D修一條筆直小路交草坪圓周于A,B兩點(diǎn),為了方便居民散步,同時(shí)修建小路OA,OB,其中小路的寬度忽略不計(jì).
(1)若要使修建的小路的費(fèi)用最省,試求小路的最短長(zhǎng)度;
(2)若要在△ABO區(qū)域內(nèi)(含邊界)規(guī)劃出一塊圓形的場(chǎng)地用于老年人跳廣場(chǎng)舞,試求這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積.(結(jié)果保留根號(hào)和π)

分析 (1))要使小路的長(zhǎng)度最短,只需AB最短即可.當(dāng)OD⊥AB時(shí),圓心距最長(zhǎng)為OD,此時(shí)AB最短,利用圓的弦長(zhǎng)公式即可求解.
(2)依題意,圓形廣場(chǎng)內(nèi)切于△ABO時(shí),這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積.
設(shè)△ABO的內(nèi)切圓半徑為r,則有$\frac{1}{2}(OB+OA+AB)×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$,
由弦長(zhǎng)公式得AB=2$\sqrt{4-e0s0ya0^{2}}$,⇒$qwakmew^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}(16-A{B}^{2})}{4(AB+4)^{2}}=\frac{A{B}^{2}(4-AB)}{4(4+AB)}$.
令A(yù)B=x,則r2=f(x)=$\frac{{x}^{2}(4-x)}{4(4+x)}$,$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)^{2}}$;利用導(dǎo)數(shù)求解.

解答 解:(1)小路的長(zhǎng)度l=OA+OB+AB=(400+AB)米,
要使小路的長(zhǎng)度最短,只需AB最短即可.
當(dāng)OD⊥AB時(shí),圓心距d最長(zhǎng)為OD,此時(shí)AB最短,
(AB)min=2$\sqrt{{R}^{2}-O{D}^{2}}=100\sqrt{2}$×2=200$\sqrt{2}$米,
∴小路的最短長(zhǎng)度為(4+2$\sqrt{2}$)(百米).
(2)依題意,圓形廣場(chǎng)內(nèi)切于△ABO時(shí),這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積.
設(shè)△ABO的內(nèi)切圓半徑為r,
則有$\frac{1}{2}(OB+OA+AB)×r$=$\frac{1}{2}×AB×d$,
由弦長(zhǎng)公式得AB=2$\sqrt{4-eueogwq^{2}}$,⇒$ssuooyy^{2}=4-\frac{A{B}^{2}}{4}$⇒${r}^{2}=\frac{A{B}^{2}(16-A{B}^{2})}{4(AB+4)^{2}}=\frac{A{B}^{2}(4-AB)}{4(4+AB)}$.
令A(yù)B=x,則r2=f(x)=$\frac{{x}^{2}(4-x)}{4(4+x)}$,$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)^{2}}$;
∵$0<d≤\sqrt{2}$,∴x=AB=2$\sqrt{4-u2o0qik^{2}}$$∈[2\sqrt{2},4]$.
∴$f′(x)=\frac{-x({x}^{2}+4x-16)}{2(x+4)}<0$,∴$f(x)_{max}=f(2\sqrt{2})$=6-4$\sqrt{2}$.
這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積s=πr2=(6-4$\sqrt{2}$)π(百米2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的性質(zhì),解三角形、弦長(zhǎng)公式,函數(shù)的最值,屬于中檔題.

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