12.已知O為△ABC的外心,|$\overrightarrow{AB}$|=2,|$\overrightarrow{AC}$|=4,若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$,且x+4y=2,則|$\overrightarrow{OA}$|=2.

分析 可作出圖形,根據(jù)條件可求出$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=2,\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=8$,從而分別在$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$的兩邊同時乘以$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{2=4x+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}&{①}\\{8=16y+x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}&{②}\end{array}\right.$,然后根據(jù)條件x+4y=2:①+②,和①×4+②便可得到$\left\{\begin{array}{l}{(x+y)\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2}\\{8(x+y)+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8}\end{array}\right.$,這樣便可解出x+y=$\frac{1}{2}$,從而聯(lián)立x+4y=2便可解出x,y,從而便可得出$|\overrightarrow{OA}|$.

解答 解:如圖,分別取AB,AC中點D,E,連接OD,OE,AO,O為△ABC的外心;
∴OD⊥AB,OE⊥AC;
∴$由\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$得,$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=x{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.$;
$\left\{\begin{array}{l}{2=4x+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}&{①}\\{8=16y+x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}&{②}\end{array}\right.$;
∵x+4y=2;
∴①+②得:$(x+y)\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2$③;
①×4+②得:$8(x+y)+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=8$④;
∴③④聯(lián)立得,$x+y=\frac{1}{2}$;
∴解$\left\{\begin{array}{l}{x+4y=2}\\{x+y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$得,$x=0,y=\frac{1}{2}$;
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$;
∴$|\overrightarrow{AO}|=2$.
故答案為:2.

點評 考查三角形外心的概念,向量數(shù)量積的運算及其計算公式,直角三角形邊角的關(guān)系,以及構(gòu)造方程組解題的方法,向量數(shù)乘的幾何意義.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.計算:lg$\frac{5}{2}$+2lg2+${2}^{lo{g}_{4}3}$=1+$\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知x,y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3≤0}\\{x+3y-3≥0}\\{y≤1}\end{array}\right.$若當且僅當$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$時,z=ax+y(a>0)取得最大值,則a的取值范圍是( 。
A.(0,$\frac{1}{3}$)B.($\frac{1}{3}$,+∞)C.(0,$\frac{1}{2}$)D.($\frac{1}{2}$,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.設(shè)非負實數(shù)x,y滿足:$\left\{\begin{array}{l}{y≥x-1}\\{2x+y≤5}\end{array}\right.$,(2,1)是目標函數(shù)z=ax+3y(a>0)取最大值的最優(yōu)解,則a的取值范圍是( 。
A.(0,6)B.(0,6]C.[6,+∞)D.(6,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.中心在原點,焦點在x軸,直線y=x+1與該雙曲線所截得的弦長為|PQ|=4,且以PQ為直徑的圓過原點,求雙曲線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.函數(shù)y=2cos(x-$\frac{π}{3}$)($\frac{6}{π}$≤x≤$\frac{2π}{3}$)的最小值和最大值分別是1,2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.已知f(x)=x2-1,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x-1,x>0}\\{2-x,x<0}\end{array}\right.$
(1)求g(g(x))和g(f(x))的值;
(2)求f(g(x))和g(f(x))的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知f(x)=$\frac{{-2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是定義域為R的奇函數(shù).
(1)求f(x)的解析式;
(2)求出函數(shù)f(x)的增減性.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知函數(shù)f(x)=x2+ax-4a.
(1)若函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若對任意實數(shù)x均有f(x)>0,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案