Question

7．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，直線y=x+1與該雙曲線所截得的弦長(zhǎng)為|PQ|=4，且以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的方程為mx²-ny²=1（m＞0，n＞0），利用弦長(zhǎng)為|PQ|=4，且以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，建立方程，求出m，n，即可求雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為mx²-ny²=1（m＞0，n＞0）．
直線y=x+1，代入mx²-ny²=1可得（m-n）x²-2nx-n-1=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x₁+x₂=$\frac{2n}{m-n}$，x₁x₂=$\frac{-n-1}{m-n}$．
由PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，可得OP⊥OQ，∴x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
∴m-n=2①
由|PQ|=4，得$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（\frac{2n}{m-n}）^{2}-4•\frac{-n-1}{m-n}}$=4②，
∴由①②可得n=$\sqrt{7}$-1，m=$\sqrt{7}$+1．
故所求雙曲線方程為（$\sqrt{7}$+1）x²-（$\sqrt{7}$-1）y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合性強(qiáng)，字母運(yùn)算能力是一大考驗(yàn)．