Question

16．已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①f（0）f（1）＜0；
②f（0）f（1）＞0；
③f（0）f（3）＞0；
④f（0）f（3）＜0；
⑤f（1）f（3）＞0；
⑥f（1）f（3）＜0．
其中正確的結(jié)論的序號(hào)是①③⑥．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，確定函數(shù)的極值點(diǎn)及a、b、c的大小關(guān)系，由此可得結(jié)論．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
∴當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＜1，或x＞3時(shí)，f′（x）＞0
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3），
∴f（x）極大值=f（1）=1-6+9-abc=4-abc，
 f（x）極小值=f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三個(gè)解a、b、c，只需a＜1＜b＜3＜c，
及函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)x=b在1～3之間，
所以f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0，
所以0＜abc＜4
∵f（0）=-abc，∴f（0）＜0，
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0，f（1）f（3）＜0．
故其中正確結(jié)論是：①③⑥；
故答案為：①③⑥．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)，解不等式，綜合性強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合可以使本題直觀．