Question

18．已知橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1），上頂點為A，左頂點為B，設(shè)P為橢圓上一點，則△PAB的最大值為$\sqrt{2}$+1．若已知M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），點Q為橢圓上任意一點，則$\frac{1}{{|{QN}|}}$+$\frac{4}{{|{QM}|}}$的最小值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 3
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用直線與橢圓相切的性質(zhì)，可得b，再利用點到直線的距離公式、三角形面積計算公式可得a，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：依題意，k_AB=$\frac{1}{a}$，∴設(shè)切線為$y=\frac{1}{a}x+b$．
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{a}x+b\\ \frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，化為2x²+2abx+a²b²-a²=0，
∵△=0，∴4a²b²-8（a²b²-a²）=0，解得b²=2．
∴b=-$\sqrt{2}$，
∵y=$\frac{1}{a}$x+1，y=$\frac{1}{a}$x-$\sqrt{2}$，
∴d=$\frac{{\sqrt{2}+1}}{{\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}}}$=$\frac{{a（{\sqrt{2}+1}）}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}$，
∵|AB|=$\sqrt{{a^2}+1}$，
S=$\frac{1}{2}$•d•|AB|=$\sqrt{2}$+1，
∴a=2，∴|QM|+|QN|=2a=4．
∴$\frac{1}{{|{QN}|}}+\frac{4}{{|{QM}|}}$=（$\frac{1}{{|{QN}|}}+\frac{4}{{|{QM}|}}$）•$\frac{1}{4}$（|QM|+|QN|）=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{{|{QM}|}}{{4|{QN}|}}+\frac{{|{QN}|}}{{|{QM}|}}$，
根據(jù)基本不等式，原式≥1+$\frac{5}{4}$=$\frac{9}{4}$，當且僅當|QM|=2|QN|取等．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切的充要條件、點到直線的距離公式、不等式的解法、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．