12．已知函數(shù)y=f（x）不恒為0，且對于任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），求證：y=f（x）是奇函數(shù)．

分析 根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用賦值法進(jìn)行證明即可．

解答 證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，
則f（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0，
令y=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的證明，利用抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知等比數(shù)列{an}滿足a10=384，公比q=2，求數(shù)列的通項(xiàng)an以及前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．若純虛數(shù)（a+i）2（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y+1=0的下方，則實(shí)數(shù)a的值是（　�。�
A．-1B．1C．-$\sqrt{2}$D．$\sqrt{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．如圖，已知點(diǎn)E、F、G、H分別是三棱錐A-BCD棱上的四點(diǎn)，且$\frac{BF}{FC}$=$\frac{BE}{EA}$=$\frac{DH}{HA}$=$\frac{DG}{GC}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（2）若AC⊥BD，求證：四邊形EFGH是矩形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），又當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）=x3，
（1）證明函數(shù)為周期函數(shù)；
（2）證明：直線x=1是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（3）當(dāng)x∈[1，5]時，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．求證：
（1）函數(shù)f（x）=-2x2+3在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）=-x3+1在區(qū)間（-∞，0]上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）=2-$\frac{3}{x}$在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上都是單調(diào)增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．已知過雙曲線x2-y2=2的左焦點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．且|AB|=4，則這樣的直線有（　�。�
A．1條B．2條C．3條D．4條

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

1．已知函數(shù)f（x）=-2x2-4ax+a-1在x∈[-1，2]上有最大值2，則a的值為1或-$\frac{3}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

2．已知拋物線y2=2x上有兩點(diǎn)P（x1，y1）、Q（x2，y2），過PQ的中點(diǎn)M作x軸的平行線，交拋物線于R點(diǎn)，求證：S△PQR=$\frac{1}{16}$|y1-y2|3．

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同步練習(xí)冊答案