Question

4．已知過雙曲線x²-y²=2的左焦點(diǎn)作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．且|AB|=4，則這樣的直線有（　�。�

• A． 1條
• B． 2條
• C． 3條
• D． 4條

Answer 1

分析 左焦點(diǎn)為（-2，0），當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足條件，當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，判斷滿足條件的斜率存在的直線共有4條．

解答 解：兩個(gè)頂點(diǎn)的距離為：$2\sqrt{2}$．
左焦點(diǎn)為（-2，0），當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線AB方程為 x=-2，
代入雙曲線x²-y²=2的方程可得y=±$\sqrt{2}$，即A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為$\sqrt{2}$和-$\sqrt{2}$，不滿足|AB|=4．
當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，直線與左支的交點(diǎn)的距離為4時(shí)有2條，與支與右支個(gè)一個(gè)交點(diǎn)，距離為4，也有2條；
綜上，所有滿足條件的直線共有4條，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，求出滿足條件的直線的斜率，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．