如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點在線段上，平面．

（1）證明：平面.；
（2）若，求三棱錐的體積．

（1）見解析（2）

解析試題分析：（1）要證平面,需證與平面內的兩條相交直線都垂直，
由平面,可證，由平面，可證.根據(jù)線面垂直的判定定理，
可證平面.（2）設矩形的對角線的交點為,連結，由（1）的結論可知平面，從而有，所以矩形為正方形，邊長為2；由平面，知，因此與相似，可確定的各邊長，然后由求三棱錐的體積.
試題解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，
∴PC⊥BD．
又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．                  6分

（2）如圖，設AC與BD的交點為O，連結OE．
∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
由（1）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
由題設條件知，四邊形ABCD為正方形．
由AD＝2，得AC＝BD＝2，OC＝．
在Rt△PAC中，PC＝＝＝3．
易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
∴＝＝，即＝＝，∴OE＝，CE＝．
∴VE-BCD＝S△CEO·BD＝·OE·CE·BD＝···2＝．   13分
考點：1、直線與平面垂直的判定與性質；2、棱錐的體積.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分別為AC、AB的中點,將△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點,得到圖(2).

(1)求證:EF⊥A′C;
(2)求三棱錐FA′BC的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求證：BD⊥平面POA；
(2)記三棱錐P­ABD體積為V1，四棱錐P­BDEF體積為V2，且，求此時線段PO的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖．

（1）若為的中點，求證：面；
（2）證明面.
（3）求該幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，E和F是l上的兩個不同點，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD內的兩點，EE′和FF′都與平面ABCD垂直．

(1)證明：直線E′F′垂直且平分線段AD；
(2)若∠EAD＝∠EAB＝60 °，EF＝2.求多面體ABCDEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在中，AB=2BF=4，C，E分別是AB，AF的中點（如下左圖）．將此三角形沿CE對折，使平面AEC⊥平面BCEF（如下右圖），已知D是AB的中點．

（1）求證：CD∥平面AEF;
（2）求證：平面AEF⊥平面ABF；
（3）求三棱錐C-AEF的體積，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知直三棱柱中，，，，D為BC的中點.

（1）求證：∥面；
（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，正三棱錐的底面邊長為，側棱長為，為棱的中點．

（1）求異面直線與所成角的大�。ńY果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求該三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示的幾何體ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等邊三角形，且所在平面平行，四邊形BCED是邊長為2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC．

（Ⅰ）求幾何體ABCDFE的體積；
（Ⅱ）證明：平面ADE∥平面BCF；

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