Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）當時，函數(shù)取得極大值，求實數(shù)的值；
（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在導數(shù)，則存在
，使得. 試用這個結(jié)論證明：若函數(shù)
（其中），則對任意，都有；
（Ⅲ）已知正數(shù)滿足，求證：對任意的實數(shù)，若時，都
有.

Answer 1

（Ⅰ） ；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）利用導數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)在極值時有極值求出參數(shù)的值；（Ⅱ）構造新函數(shù)再利用導數(shù)法求解；（Ⅲ）由已知條件得出，再利用第（Ⅱ）問的結(jié)論對任意，都有求解.
試題解析：（Ⅰ）由題設，函數(shù)的定義域為，且
所以，得，此時.
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
函數(shù)在處取得極大值，故                 4分
（Ⅱ）令，
則.
因為函數(shù)在區(qū)間上可導，則根據(jù)結(jié)論可知：存在
使得                                7分
又，
當時，，從而單調(diào)遞增，；
當時，，從而單調(diào)遞減，；
故對任意，都有         .           9分
（Ⅲ），且，，
 
同理，                12分
由（Ⅱ）知對任意，都有，從而
．     14分
考點：導數(shù)的基本運算；導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關系；不等式的基本性質(zhì)與證明.