Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓Γ的兩焦點．
（Ⅰ）若P是橢圓Γ上的任一點，|PF₁|+|PF₂|=4且橢圓Γ的離心率e=

1

2

，求軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知兩直線l₁，l₂，直線l₁：y=k₁x+m（m≠0）交橢圓Γ于A、B兩點，若C為AB的中點，直線l₂：y=k₂x過點C．求證：k₁•k₂=-

b2

a2

；
（Ⅲ）圓錐曲線在某些性質(zhì)方面呈現(xiàn)出統(tǒng)一性．在（Ⅱ）中，我們得到關(guān)于橢圓的一個優(yōu)美結(jié)論．請你寫出關(guān)于雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個相類似的結(jié)論（不需證明）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知求出橢圓的長半軸長，結(jié)合離心率求出半焦距，再由b²=a²-c²求出b²，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線l₁的方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點橫坐標與縱坐標的和，再把l₂的斜率用含有a，b，k₁的代數(shù)式表示，則結(jié)論得到證明；
（Ⅲ）直接類比橢圓的結(jié)論得到關(guān)于雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個相類似的結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)橢圓的長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c，
∵|PF₁|+|PF₂|=4，
∴2a=4，即a=2，
又離心率e=

c

a

=

1

2

，
∴c=1，b²=4-1=3，
∴橢圓Γ的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），
聯(lián)立

y=k1x+m x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y，得
(b2+a2k12)x2+2k1ma2x+a2m2-a2b2=0．
∴x1+x2=

-2k1ma2

b2+a2k12

，y1+y2=k1•

-2k1ma2

b2+a2k12

+2m=

2mb2

b2+a2k12

．
又x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

，
∴k2=

y1+y2

x1+x2

=

2mb2

-2k1ma2

=

b2

-k1a2

，
∴k1•k2=k1•

b2

-k1a2

=-

b2

a2

；
（Ⅲ）解：設(shè)直線L₁：y=k₁x+p，p≠0，交雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1于D、G兩點，
H為DG的中點，直線L₂：y=k₂x過點H，則k1•k2=

b2

a2

．

點評：本題是直線與圓錐曲線關(guān)系的綜合題，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．