Question

10．如圖所示，過拋物線x²=4py（p＞0）焦點(diǎn)的直線依次交拋物線與圓x²+（y-p）²=p²于點(diǎn)A，B，C，D，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$的值是（　�。�

• A． 8p²
• B． 4p²
• C． 2p²
• D． p²

Answer 1

分析 設(shè)A、D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）及直線方程，聯(lián)立直線和拋物線的方程求出y₁•y₂，并用y₁，y₂表示AF，F(xiàn)D，代入上述式子中即可．

解答 解：設(shè)A、D的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），依題意知焦點(diǎn)F（0，p），
則設(shè)直線AD方程為：y=kx+p，
聯(lián)立消去x，得y²-（2p+4pk²）y+p²=0，
∴y₁•y₂=p²
又根據(jù)拋物線定義得AF=y₁+p，F(xiàn)D=y₂+p，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{CD}$|=（AF-p）（FD-p）=y₁•y₂=p²．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 此題設(shè)計(jì)構(gòu)思比較新穎，考查拋物線的定義及巧妙將向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化，同時(shí)在解答過程中處理直線和拋物線的關(guān)系時(shí)運(yùn)用了設(shè)而不求的方法．