如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點，
又∠PDA為45°
（1）求證：AF∥平面PEC
（2）求證：平面PEC⊥平面PCD．
證明（1）取PC中點G，連接EG，F(xiàn)G，
∵F為PD的中點，∴GF∥CD且GF=
1
2
CD
∵ABCD是矩形，又E為AB中點，∴AE∥CD且AE=
1
2
CD，
∴AE∥GF且AE=GF∴四邊形AEGF為平行四邊形
∴AF∥GE，且AF?平面PEC，GE⊆平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵ABCD為矩形，∴CD⊥AD，又∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊆平面PAD，∴CD⊥AF，
∵∠PDA=45°∴F為Rt△PAD斜邊PD的中點，∴AF⊥PD，
又∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
由（1）知AF∥EG．∴EG⊥平面PCD，
又∵EG⊆平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中點，D是AA1上的一個動點，且
AD
DA1
=m，若AE∥平面DB1C，則m的值等于______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=
2
，AA1=2，如圖，
（1）當點P在BB1上運動時（點P∈BB1，且異于B，B1）設PA∩BA1=M，PC∩BC1=N，求證：MN∥平面ABCD
（2）當點P是BB1的中點時，求異面直線PC與AD1所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列說法正確的是（　　）
A．垂直于同一平面的兩平面也平行
B．與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線
C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
D．垂直于同一直線的兩平面平行

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖是一個長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖（單位：cm）．
（1）畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在所給直觀圖中連接BC'，證明：BC'∥平面EFG．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是底面為正方形的長方體，∠AD1A1=60°，AD1=4，P為AD1的中點，（1）求證：直線C1P∥平面AB1C；（2）求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為PA、BC的中點．
求證：EF∥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，O為AC和BD的交點，過A、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-AC1Dl，且這個幾何體的體積為．
（1）求證：OD1∥平面BA1C1
（2）求棱A1A的長：
（3）求點D1到平面BA1C1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知直線l⊥平面α，有以下幾個判斷：
①若m⊥l，則m∥α，
②若m⊥α，則m∥l
③若m∥α，則m⊥l，
④若m∥l，則m⊥α，
上述判斷中正確的是（　�。�
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

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