在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=
2
,AA1=2,如圖,
(1)當(dāng)點P在BB1上運(yùn)動時(點P∈BB1,且異于B,B1)設(shè)PA∩BA1=M,PC∩BC1=N,求證:MN平面ABCD
(2)當(dāng)點P是BB1的中點時,求異面直線PC與AD1所成角的正弦值.
(1)證明:連接MN,∵BPAA1,∴
PM
MA
=
BP
AA1

同理
PN
NC
=
BP
CC1
,∵AA1=CC1,∴
PM
MA
=
PN
NC
,∴MNAC,
又AC?平面ABCD,MN?平面ABCD,∴MN平面ABCD.
(2)∵ABC1D1,AB=C1D1,∴四邊形ABC1D1為平行四邊形,
∴AD1BC1,∴∠BNC為異面直線PC與AD1所成角,
∵點P是BB1的中點,∴BP=1=
1
2
CC1,∴BN=
1
2
NC1=
1
3
AC1=
6
3
,
CN=2PN=
2
3
PC=
2
3
3
,BC=
2
,
由余弦定理得cos∠BNC=
BN2+CN2-BC2
2×BN×CN
=0,
∴sin∠BNC=1.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

平面ACD⊥平面α,B為AC的中點,AC=2,∠CBD=60°,P是α內(nèi)的動點,且P到直線BD的距離為
3
,則△APC面積的最大值為( 。
A.2
3
B.
3
+
2
C.2D.
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四面體ABCD中,平面EFGH分別平行于棱CD、AB,E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.
(1)求證:四邊形EFGH是矩形.
(2)設(shè)
DE
DB
=λ(0<λ<1)
,問λ為何值時,四邊形EFGH的面積最大?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知E、F分別是三棱錐A-BCD的側(cè)棱AB、AD的中點,
求證:EF平面BCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,PD⊥底面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PD=DC,E是PC的中點.
(1)證明:PA平面BDE;
(2)證明:平面ADE⊥平面PBC;
(3)求直線AE與平面ABCD所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)多面體ABCDEF,已知ABCDEF,平面ABCD⊥平面ADF,△ADF是以AD為斜邊的等腰直角三角形,若∠ADC=120°,AD=2,AB=2,CD=4,EF=3,G為BC的中點.
(1)求證:EG平面ADF;
(2)求直線DE與平面ABCD所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,D,E,F(xiàn)分別為AB1,CC1,BC的中點.
(1)求證:DE平面ABC;
(2)求證:B1F⊥平面AEF.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F(xiàn)分別是AB,PD的中點,
又∠PDA為45°
(1)求證:AF平面PEC
(2)求證:平面PEC⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

若將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角,且EA⊥平面ABD,AE=a(如圖).
(Ⅰ)若a=2
2
,求證:AB平面CDE;
(Ⅱ)求實數(shù)a的值,使得二面角A-EC-D的大小為60°.

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