Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B、C構(gòu)成直角三角形，∠A=90°，斜邊端點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（-2，0）和（2，0），設(shè)斜邊BC上高線的中點(diǎn)為M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)出M坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到A的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，整理得答案．

解答 解：設(shè)M（x，y），則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，2y），
根據(jù)∠A=90°，可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，
又B（-2，0），C（2，0），∴$\overrightarrow{AB}$=（-2-x，2y），$\overrightarrow{AC}$=（2-x，2y），
代入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，得：（-2-x，2y）•（2-x，2y）=（-2-x）（2-x）+4y²=0，
化簡可得：x²-4+4y²=0，即$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
又∵A，B，C構(gòu)成三角形不能共線，∴y≠0，
故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1（y≠0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，考查了向量在求解軌跡方程中的應(yīng)用，是中檔題．