Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{3}{2}$（ω＞0），其最小正周期為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，再將圖象上個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間$[{\left.{0，\frac{π}{2}}]}$上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）若不等式$|{f（x）-m}|＜1在x∈[{\left.{0，\frac{π}{4}}]}$上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．
（2）由條件根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求得-k的范圍，可得k的范圍．
（3）由題意可得m-1＜f（x）＜m+1，而當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，f（x）∈[-$\frac{3}{2}$，0]，再根據(jù)m-1＜-$\frac{3}{2}$，m+1＞0，求得m的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}sinωxcosωx+{cos^2}ωx-\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx）+$\frac{1+cos2ωx}{2}$-$\frac{3}{2}$ 
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）-1 的最小正周期為$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=2．
故函數(shù)f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，可得y=sin[4（x-$\frac{π}{8}$）+$\frac{π}{6}$]-1=sin（4x-$\frac{π}{3}$）-1的圖象；
再將圖象上個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-1的圖象．
若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間$[{\left.{0，\frac{π}{2}}]}$上有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
即直線y=-k和g（x）的圖象在區(qū)間$[{\left.{0，\frac{π}{2}}]}$上有且只有兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，g（x）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，0]．
故-k∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1，0），即 k∈（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1]．

（3）若不等式$|{f（x）-m}|＜1在x∈[{\left.{0，\frac{π}{4}}]}$上恒成立，
即當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，恒有 m-1＜f（x）＜m+1．
而當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{4}$]時(shí)，4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，sin（4x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）-1∈[-$\frac{3}{2}$，0]，
∴m-1＜-$\frac{3}{2}$，m+1＞0，求得-1＜m＜-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的周期性；y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域；函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．