Question

10．已知△ABC的一個內(nèi)角為120°，并且三邊長度構(gòu)成以首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，則△ABC的最小角的正弦值為$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．

Answer 1

分析 設(shè)出等差數(shù)列的三邊為3，3+x，2x+3，由余弦定理列式求解x，則利用余弦定理可求答案．

解答 解：不妨設(shè)三角形的三邊分別為3，3+x，3+2x，（x＞0），
則cos120°=$\frac{{3}^{2}+（3+x）^{2}-（3+2x）^{2}}{2×3×（3+x）}$=-$\frac{1}{2}$，
化簡得：x²+x-6=0，解得x=2或-3（舍去），
∴三角形的3邊長分別為：3，5，7．
設(shè)最小角為θ，則cosθ=$\frac{{5}^{2}+{7}^{2}-{3}^{2}}{2×5×7}$=$\frac{13}{14}$，解得：sin$θ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．
故答案為：$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的定義，考查了余弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．