Question

15．在以O(shè)為圓心，1為半徑的圓上均勻、依次分布有六點(diǎn)，分別記為：A、B、C、D、E、F．
（1）點(diǎn)P是圓O上運(yùn)動(dòng)的任意一點(diǎn)，試求|PA|≥1的概率；
（2）在A、B、C、D、E、F六點(diǎn)中選擇不同的三點(diǎn)構(gòu)成三角形，其面積記為S，試求S=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$和S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$的概率．

Answer 1

分析 （1）設(shè)事件A₁：|PA|≥1，求出滿足條件的弧長(zhǎng)，代入幾何概型概率計(jì)算公式可得答案；
（2）從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，共有$C_6^3=20$種不同的選法．其中$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的為有一個(gè)角為30°的RT△，$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$的為頂角為120°的等腰三角形，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）設(shè)事件A₁：|PA|≥1，則動(dòng)點(diǎn)則沿B→C→D→E→F運(yùn)動(dòng)均滿足題意，
則$P（{A_1}）=\frac{{\frac{2}{3}×2π×1}}{2π×1}=\frac{2}{3}$（6分）
（2）從六個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，共有$C_6^3=20$種不同的選法．
其中$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的為有一個(gè)角為30°的RT△（如△ADF），不同的選法種數(shù)為6×2=12種．
∴$P（S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$（10分）
$S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$的為頂角為120°的等腰三角形（如△ABC），不同的選法種數(shù)為6種．
∴$P（S=\frac{{\sqrt{3}}}{4}）=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型和幾何概型，轉(zhuǎn)化思想，找到滿足條件的基本事件的幾何特征是解答的關(guān)鍵．