Question

16．已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax²+3，若存在實數(shù)m、n∈[1，5]滿足n-m≥2時，f（m）=f（n）成立，則實數(shù)a的最大值為（　�。�

• A． $\frac{ln5-ln3}{8}$
• B． $\frac{ln3}{4}$
• C． $\frac{ln5+ln3}{8}$
• D． $\frac{ln4}{3}$

Answer 1

分析 由f（m）=f（n）⇒2lnn-an²+3=2lnm-am²+3，得a=$\frac{lnn-lnm}{{n}^{2}-{m}^{2}}$．令n=m+t，（t≥1），則a=$\frac{ln（1+\frac{t}{m}）}{t（2m+t）}$，顯然g（m）═$\frac{ln（1+\frac{t}{m}）}{t（2m+t）}$，在m∈[1，+∞）單調(diào)遞減，得a≤g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥2）
令h（t）=g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥2），h′（t）=$\frac{{t}^{2}+2t-2ln（t+1）（t+1）^{2}}{[t（t+2）]^{2}（t+1）}$，根據(jù)h（t）的單調(diào)性求得實數(shù)a的最大值．

解答 解：由f（m）=f（n）⇒2lnn-an²+3=2lnm-am²+3，∴a=$\frac{lnn-lnm}{{n}^{2}-{m}^{2}}$．
令n=m+t，（t≥1），則a=$\frac{ln（1+\frac{t}{m}）}{t（2m+t）}$，（m∈[1，5]，t≥2）
顯然g（m）═$\frac{ln（1+\frac{t}{m}）}{t（2m+t）}$，在m∈[1，+∞）單調(diào)遞減，∴a≤g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥1）
令h（t）=g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥2），h′（t）=$\frac{{t}^{2}+2t-2ln（t+1）（t+1）^{2}}{[t（t+2）]^{2}（t+1）}$
∵t≥2，∴2ln（t+1）＞1，則t²+2t-2ln（t+1）（t+1）²＜0，
∴令h（t）=g（1）=$\frac{ln（1+t）}{t（2+t）}$，（t≥2），單調(diào)遞減，
∴$a≤h（2）=\frac{ln3}{4}$
∴實數(shù)a的最大值為$\frac{ln3}{4}$．
故選：B

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查了轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬于難題．