Question

17．對于R上可導的任意函數(shù)f（x），若滿足（x-3）f′（x）≤0，則必有（　　）

• A． f（0）+f（6）≤2f（3）
• B． f（0）+f（6）＜2f（3）
• C． f（0）+f（6）≥2f（3）
• D． f（0）+f（6）＞2f（3）

Answer 1

分析 分x≥3和x＜3兩種情況對（x-3）f′（x）≤0進行討論，由極值的定義可得當x=3時f（x）取得極大值也為最大值，故問題得證．

解答 解：依題意，當x≥3時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是減函數(shù)；
當x＜3時，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，3）上是增函數(shù)，
故當x=3時f（x）取得極大值也為最大值，即有
f（0）≤f（3），f（6）≤f（3），
∴f（0）+f（6）≤2f（3）．
故選：A．

點評 本題以解不等式的形式，考查了利用導數(shù)求函數(shù)極值的方法，同時靈活應用了分類討論的思想，是一道好題．