Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=61．
（1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（3）若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，作△ABC，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算和向量的夾角公式即可求出；
（2）可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，即可求出|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|和|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|；
（3）先計算a，b夾角的正弦，再用面積公式求值．

解答 解：（1）由（2a-3b）•（2a+b）=61，
得4|a|²-4a•b-3|b|²=61．
∵|a|=4，|b|=3，代入上式求得a•b=-6，
∴cosθ=$\frac{a•b}{|a|•|b|}$=$\frac{-6}{4×3}$=-$\frac{1}{2}$，
又θ∈[0°，180°]，
∴θ=120°．
（2）|a+b|²=（a+b）²=|a|²+2a•b+|b|²
=4²+2（-6）+3²=13，
∴|a+b|=$\sqrt{13}$．
同理，|a-b|=$\sqrt{a2-2a•b+b2}$=$\sqrt{37}$，
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，
|$\overrightarrow{AB}$|=|a|=4，|$\overrightarrow{AC}$|=|b|=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|•sin∠BAC
=$\frac{1}{2}$×3×4sin120°=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量解得運算和向量的夾角公式以及向量的模和三角形的面積公式，屬于中檔題．