Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA=PB，E為PC上的點(diǎn)，且BE⊥平面PAC．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC
（Ⅱ）求二面角P-AC-B的正弦值；
（Ⅲ）求點(diǎn)D到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且CB⊥AB，可得CB⊥平面PAB，即可證明：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BAC、平面APC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角P-AC-B的正弦值；
（Ⅲ）利用距離公式求點(diǎn)D到平面PAC的距離．

解答 證明（Ⅰ）∵BE⊥平面PAC，∴BE⊥PA．
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PA，∴PA⊥平面PBC．                             …（4分）
解：（Ⅱ）以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OP所在直線為z軸，AB所在直線為x軸，
過(guò)O點(diǎn)平行于AD的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)O-xyz．
∵PA⊥平面PBC，PB?面PBC，
∴PA⊥PB，
在Rt△APB中，AB=2，O為AB的中點(diǎn)，
∴OP=1．
∴A（-1，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，2，0），D（-1，2，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（1，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），
顯然，平面BAC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)平面APC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\ 2x+2y=0\end{array}\right.$取x=1，則y=-1，z=-1，從而$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
設(shè)二面角P-AC-B的平面角為θ，
則|cosθ|=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{1}{{1•\sqrt{3}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴sinθ=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
即二面角P-AC-B的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．                        …（10分）
（Ⅲ）∵$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），
∴點(diǎn)D到平面PAC的距離d=$\frac{{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow n|}}{|\overrightarrow n|}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$．      …（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查點(diǎn)面距的求法，屬于中檔題．